Hvað eiga gríska meyjarhofið Parþeon, fimm arma stjarna, Mona Lisa, hús Sameinuðu þjóðanna í New York og fibonacci tölur sameiginlegt? Svarið er að ein tala tengir þær allar saman, nefnilega 1,618. En hvernig má það vera?
Hvað eiga gríska meyjarhofið Parþeon, fimm arma stjarna, Mona Lisa, hús Sameinuðu þjóðanna í New York og fibonacci tölur sameiginlegt? Svarið er að ein tala tengir þær allar saman, nefnilega 1,618. En hvernig má það vera?
Gullinsnið er ákveðið hlutfall sem m.a. Forn-Grikkir og Egyptar notuðu við byggingar á sínum frægustu mannvirkjum. Þetta hlutfall þótti í senn fallegt og guðlegt og því má finna þetta hlutfall í frægum fornum byggingum eins og Parþenon hofinu og pýramídunum. En einnig í nútíma byggingarlist eins og í húsi Sameinuðu þjóðanna. En hvernig er þetta hlutfall, þ.e. gullinsnið, ákvarðað?
Hugmyndin var að skipta línu í tvo hluta þannig að hlutfall styttri hlutans á móti þeim lengri væri það sama og hlutfall lengri hlutans af allri línunni. Með því að uppfæra þetta í tvívídd að þá er hægt að skipta ferhyrningi, þar sem hlutfall hliðarlengdanna er gullinsnið, í ferning og annan ferhyrning þar sem hlutfall hliðarlengdanna er líka gullinsnið. Þetta má svo gera út í hið óendanlega og ávallt eru hlutföllin gullinsnið. Stærfræðilega þýðir þetta, sjá skýringarmyndina hér til hliðar, að hlutfallið gullinsnið má reikna sem (a táknar gullinsnið):
b/a = a/(a+b) eða að b^2 +ab = a^2 sem gefur annars stigs jöfnuna
a^2 – ab – b^2 = 0, þar sem a er óþekkta breytan.
Þessi jafna hefur tvær rauntölulausnir þar sem stuðlarnir við annað veldið á a og núllta veldið á a (b^2) hafa öfug formerki. Enn fremur má sjá, með einfaldri þáttun, að rætur jöfnunnar þurfa að uppfylla eftirfarandi skilyrði (til einföldunar má segja að b = 1):
(a-r1)*(a-(-r2)) = 0 sem gefur að r1*r2 = 1 og að r1-r2 = 1, sem er ákaflega skemmtilegir eiginleikar fyrir talnaáhugamenn. Þ.e. þær tvær tölur sem eru margföldunarandhverfa hvor annarrar og að mismunur þeirra er 1. Með því að leysa þetta jöfnuhneppi að ofan fyrir r1 og r2 fæst:
r1 = (sqrt(5)+1)/2 og r2 = (sqrt(5)-1)/2 þar sem að út frá upphaflegum forsendum fæst að gullinsnið = r1 eða u.þ.b. 1,618 (athugið að lausnir annars stigs jöfnunnar að ofan eru þá r1 og –r2). Í dag er gullinsnið oft táknað með gríska bókstafnum phi, en phi er fyrsti stafurinn í nafni gríska myndhöggvarans og stærðfræðingsins Phidias sem byggði höggmyndir sínar á gullinsniði um 500 árum fyrir Krist.
Leonardi da Vinci var mikill áhugamaður um gullinsnið og líklega er hann sá sem fyrstur notaði orðið gullinsnið eða sectio aurea. Auk þess að nota þetta hlutfall ítrekað í verkum sínum að þá sýnir hann glögglega með teikningu sinni af Vitruvious manninum að gullinsnið kemur fyrir í byggingu mannslíkamans. Þar sem t.a.m. hlutfallið milli hæðar að nafla og hæðar er gullinsnið og hlutfallið milli lófans og handar upp að olnboga er gullinsnið. Gullinsnið kemur einnig víða fyrir í náttúrinni m.a. í býflugnabúum og blómum. Líklegt má telja að hlutfallið gullinsnið hafi verið kallað guðlega hlutfalli í kjölfarið á þessum uppgötvunum. Menn töldu sig hafa rambað inn á tölu skaparans sem birtist í fjölmörgum myndum í náttúrunni og himingeimnum.
Í stærðfræðinni birtist gullinsnið víða m.a. í rúmmyndum eins og fimm arma stjörnu (pentagram) og ferhyrningum. Auk þess er markgildi hlutfalls aðliggjandi talna í Fibonacci röð gullinsnið. En Fibonacci röð er röð talna sem er skilgreind þannig að fyrstu tvær tölurnar eru 1 og næstu tölur á eftir eru summa tveggja talna á undan. Fibonacci tölurnar eru því 1,1,2,3,5,8,13,21…. Gullinsnið má einnig finna víða í listum. Leonardo da Vinci er þekktur fyrir að hafa notað þetta hlutfall í myndum sínum eins og Monu Lisu og Síðustu kvöldmáltíðinni þar sem t.a.m. andlit Monu Lisu er teiknað í hlutfallinu gullinsnið. Aðrir listamenn eins og Salvador Dali, Rembrandt og George Piere Seurat hafa einnig stuðst við þetta hlutfall í verkum sínum. Auk þess telja menn sig hafa fundið merki um gullinsnið í verkum Mozarts og Beethovens!
Til er heilmikill fróðleikur og vangaveltur um þetta gullna hlutfall (sqrt(5)+1)/2 og menn þykjast ávallt finna ný dæmi um notkun á þessu fræga hlutfalli. Hvort um sé að ræða hreina tilviljun eða guðlega tölu skal ósagt látið en fyrir fróðleiksfúsa má benda á eftirfarandi heimildir:
